In fisica il concetto di campo vettoriale è di estrema importanza e utilità;
in sostanza si tratta di associare a ogni punto
Il più noto di questi campi è il campo gravitazionale:
se prendiamo un oggetto di massa
Questa interpretazione si appresta quindi bene a una definizione che fa uso dei vettori tangenti;
teniamo a mente che considereremo formalmente
Si dice campo vettoriale su un aperto
Formalmente si tratta di una mappa del tipo
Per comodità di notazione, denoteremo sempre
Lo spazio
Tramite le
Un campo vettoriale
Denotiamo con
Su
Consideriamo ora il campo vettoriale su
Dato
Dati due campi vettoriali
Possiamo però dire di più;
dato
Osservazione: Su
Tuttavia, non faremo uso di questa operazione.
Prendiamo
dati un campo
Scrivendo
Pertanto,
Quindi, un campo vettoriale
Questa mappa è di estrema importanza, come vedremo dai risultati che adesso esibiamo.
Sia
La mappa
Dimostrazione
Poniamo intanto
Per mostrare che
Vediamo intanto la
date due funzioni
date due funzioni
A questo punto sappiamo qual è l'andazzo:
ci aspettiamo che questa mappa
Sia
La mappa
Dimostrazione
La linearità è immediata.
Verifichiamo l'iniettività.
Prendiamo quindi un campo
scriviamo
Prendiamo la proiezione sulla
abbiamo
Verifichiamo ora la suriettività.
Prendiamo quindi
motivati dall'uguaglianza precedente, poniamo
Verifichiamo che il campo
Fissiamo dunque
applichiamo ora il Lemma di Hadamard (Proposizione 3.1.5) a
Applichiamo ora
Sia
Lo spazio
Dimostrazione
Per il Teorema 3.5.5, sappiamo che
d'altra parte, per il Corollario 3.4.9 quest'ultimo spazio è isomorfo a