Note 2
3.5 - Campi Vettoriali

In fisica il concetto di campo vettoriale è di estrema importanza e utilità;
in sostanza si tratta di associare a ogni punto di una regione di uno spazio euclideo, un vettore dello stesso spazio, inteso come freccia applicata in (quindi un vettore tangente geometrico in ).
Il più noto di questi campi è il campo gravitazionale:
se prendiamo un oggetto di massa situato in , ad ogni punto è assegnato un vettore che denota l'intensità di attrazione.

Questa interpretazione si appresta quindi bene a una definizione che fa uso dei vettori tangenti;
teniamo a mente che considereremo formalmente come lo spazio delle derivazioni in , dimodoché tutta la teoria che svilupperemo possa poi essere generalizzata più facilmente alle varietà.

Definizione 3.5.1 (Campo vettoriale).

Si dice campo vettoriale su un aperto una funzione che assegna ad ogni punto un vettore tangente in .

Formalmente si tratta di una mappa del tipo , tale che per ogni .

Per comodità di notazione, denoteremo sempre con .

Lo spazio dispone della base canonica (Corollario 3.2.7), per cui il vettore è una combinazione lineare unica di questi vettori:
Nascono così le funzioni , e possiamo scrivere in generale Va notato che questa è solo una scrittura formale, che però risulta coerente con le operazioni che definiremo tra i campi vettoriali nel paragrafo successivo.
Tramite le , possiamo estendere il concetto di classe ad un campo vettoriale.

Definizione 3.5.2 (Campi vettoriali lisci).

Un campo vettoriale su un aperto si dice di classe (o liscio) su , se le funzioni coefficienti sono tutte di classe su .

Denotiamo con l'insieme di tutti i campi vettoriali di classe su .

​

Esempio 3.5.3 (Alcuni campi vettoriali).

Su , consideriamo il campo vettoriale
Questo è liscio, e a livello geometrico è dato dalla seguente figura:

Pasted image 20240122103417.png

​
Consideriamo ora il campo vettoriale su dato da
Anche questo è liscio, ed è schematizzato nella seguente figura:

Pasted image 20240122103752.png

come -modulo
...

Dato aperto, vediamo quali operazioni possiamo definire sull'insieme .

Dati due campi vettoriali e in , risulta ancora in il campo vettoriale Similmente, dato e , è ancora in il campo Deduciamo quindi che, con queste operazioni, diventa un -spazio vettoriale.

​
Possiamo però dire di più;
dato e una funzione , è ancora in il campo Quindi, è anche un modulo sull'anello .

In

Osservazione: Su potremmo anche definire il prodotto di due campi e : Questo spazio diventerebbe così una -algebra, insieme alle prime due operazioni che abbiamo definito.
Tuttavia, non faremo uso di questa operazione.

Campi vettoriali come derivazioni
...

Prendiamo aperto;
dati un campo e una funzione , possiamo definire una nuova funzione su , in questo modo:
Questa funzione è ben definita, ricordando che è una derivazione su .

Scrivendo in termini della base canonica, otteniamo quindi, in generale,

Pertanto, è una funzione su .

Quindi, un campo vettoriale dà luogo a una mappa

Questa mappa è di estrema importanza, come vedremo dai risultati che adesso esibiamo.

Proposizione 3.5.4 (Campo vettoriale induce una derivazione).

Sia aperto, e sia .

La mappa è una -derivazione da a .

Dimostrazione

Poniamo intanto .
Per mostrare che è una derivazione, in virtù della Osservazione 3.4.6, dobbiamo solo verificare la -linearità e l'identità di Leibniz.

Vediamo intanto la -linearità;
date due funzioni e , troviamo che Verifichiamo adesso l'identità di Leibniz;
date due funzioni abbiamo

​
A questo punto sappiamo qual è l'andazzo:
ci aspettiamo che questa mappa permetta di identificare i campi vettoriali su , con le -derivazioni da in sé stesso.

Teorema 3.5.5 (Isomorfismo naturale tra e ).

Sia .

La mappa è un isomorfismo di -spazi vettoriali.

Dimostrazione

La linearità è immediata.

Verifichiamo l'iniettività.
Prendiamo quindi un campo tale che identicamente;
scriviamo .
Prendiamo la proiezione sulla -esima coordinata 𝓍;
abbiamo 𝓍𝓍da cui segue che è il campo nullo per arbitrarietà di .

Verifichiamo ora la suriettività.
Prendiamo quindi ;
motivati dall'uguaglianza precedente, poniamo 𝓍per ogni .
Verifichiamo che il campo viene inviato da proprio in , cioè vale per ogni e .
Fissiamo dunque e , e restringiamoci a intorno sferico centrato in ;
applichiamo ora il Lemma di Hadamard (Proposizione 3.1.5) a rispetto al punto : con le aventi le proprietà del Lemma.
Applichiamo ora a : dalle proprietà delle derivazioni otteniamo 𝓍per finire, valutiamo questa derivazione in : ricaviamo così che è esattamente quello che volevamo.

​

Corollario 3.5.6 (Identificazione di tramite i differenziali di Kähler).

Sia .

Lo spazio è isomorfo a come -spazio vettoriale.

Dimostrazione

Per il Teorema 3.5.5, sappiamo che è isomorfo a ;
d'altra parte, per il Corollario 3.4.9 quest'ultimo spazio è isomorfo a .

Table Of Contents

3.5 - Campi Vettoriali

come -modulo

Campi vettoriali come derivazioni